Thiên tài toán học

Những nhà toán học lớn bàn về thi toán và thiên tài

của tác giả multifoliaterose

dịch từ: https://www.lesswrong.com/posts/EdFDwjsLNpgtTMJAp/great-mathematicians-on-math-competitions-and-genius

Như tôi có đề cập ở trong Những người được giải Fields về Toán phổ thông, toán phổ thông thường vẽ ra một bức tranh cực kì xuyên tạc về việc thực hành toán. Rất thường hay những người trẻ sáng dạ tham gia vào các cuộc thi toán, một hoạt động gần gũi hơn với việc thực hành toán. Thật không may, trong khi các cuộc thi toán có thể đại diện tốt hơn cho việc thực hành toán hơn là toán phổ thông, các cuộc thi toán, chính chúng, cũng cực kì gây nhầm lẫn. Hơn nữa, chúng thành ra gắn chặt với quan điểm thần thoại sai lệch về "thiên tài". Tôi đã sưu tập các câu trích dẫn xác đáng phía bên dưới.

Lời cảm ơn: Tôi có được một số câu trích dẫn từ bộ sưu tập các câu trích dẫn tạo bởi đồng nghiệp Laurens Gunnarsen.

Trong cuộc phỏng vấn năm 2003, Huy chương Fields Terence Tao trả lời câu hỏi:

Lời khuyên nào bạn sẽ nhắn nhủ cho người trẻ khởi đầu làm toán (ví dụ như là học sinh phổ thông hay các nghiên cứu trẻ)?

rằng:

Vâng, tôi nghĩ các bạn nên được cảnh báo rằng ấn tượng về công việc toán chuyên nghiệp của các bạn có thể sẽ rất khác so với thực tế. Ở trường tiểu học, tôi có ý kiến mơ hồ rằng nhà toán học chuyên nghiệp sử dụng thời gian để tính chữ số của pi, ví dụ thế, hoặc có thể nghĩ và giải các bài toán dạng Olympic

Trong Về việc phản đối khóa học toán Tripos, nhà toán học GH Hardy viết:

Chương trình toán Tripos thường được coi là một tập hợp các thứ vô dụng được xây dựng công phu, và sự chỉ trích đó cơ bản là chính xác. Ý kiến của cá nhân tôi là đấy là kết quả không thể tránh khỏi, trong cuộc thi toán với mức độ chuẩn hóa và cổ hủ cao. Giám khảo không được phép hài lòng ở mức kiểm tra năng lực và kiến thức của thí sinh; nhiệm vụ của họ là cung cấp một bài kiểm tra ý nghĩa nhiều hơn như thế, về sáng kiến, trí tưởng tượng và thậm chí là một số ý tưởng dạng độc đáo. Và vì chỉ có một bài kiểm tra về tính độc đáo trong toán học, gọi là dùng thành quả của công việc khai phá, và vì việc yêu cầu một thanh niên hai mươi hai thực hiện nghiên cứu khai phá trong các điều kiện kiểm tra là vô ích, việc kiểm tra nhất thiết phải thoái hóa thành một loại trò chơi, và dẫn đến nó bắt đầu thành một loạt các pha làm xiếc và thủ thuật.

Trong Bản đồ cuộc sống tôi, nhà toán học Goro Shimura nói về trải nghiệm dạy học ở trường luyện thi:

Tôi khám phá ra rằng rắt nhiều bài kiểm tra là nhân tạo và cần một số thủ thuật khôn ngoan. Tôi tránh kiểu dạng ấy, và chọn các vấn đề chính thống hơn, mà ai cũng có thể giải bằng cách sử dụng kĩ thuật tiêu chuẩn và kiến thức cơ bản. Có những cuộc thi Olympic toán học, ở trong đó các thí sinh được yêu cầu giải một số bài toán, rất khó và là những thứ tôi tránh. Mặc dù cuộc thi có thể có lý do để tồn tại, tôi nghĩ rằng các bạn trẻ có quan tâm thực thụ với toán học sẽ chả mất gì nếu bỏ qua nó.

Trong bài giảng ở kì thi Olympic Toán học Quốc tế năm 2001, Andrew Wiles đưa ra mô tả kĩ hơn tại sao cuộc thi toán không phải là biểu hiện của thực hành toán:

Để tôi chào đón các bạn không chỉ đến với sự kiện này mà là đến thế giới toán rộng lớn mà nhiều người trong chúng ta tin rằng đang ở thời kì hoàng kim. Tuy nhiên, hãy để tôi cũng cảnh báo các bạn - bất cứ con đường nào bạn đã đi từ trước, thách thức toán thực sự vẫn đang ở phía trước bạn. Tôi hi vọng có thể đưa cho bạn một cái nhìn thoáng qua về nó. Cái gì phân biệt thứ toán chúng tôi, những người làm toán chuyên nghiệp làm với bài toán các bạn phải đối mặt trong tuần trước? Hai sự khác biệt cơ bản tôi tin là ở mức độ và tính mới. Đầu tiên là mức độ: trong cuộc thi toán như là cái mà bạn vừa mới tham gia, bạn thi đua với thời gian và với nhau. Trong khi có những thời kì, đặc biệt là thế kỉ mười ba, mười bốn, mười lăm khi mà các nhà toán học tham gia các cuộc đấu với nhau theo tiêu chí thời gian, bây giờ nó không phải là lựa chọn. Thực tế là thời gian chủ yếu là ở bên cạnh bạn. Tuy nhiên, việc chuyển từ chạy ngắn sang chạy dài cần có yêu cầu thể lực khác và sự kiểm tra cực kì khác biệt về cá tính. Chúng ta thán phục một người có thể đạt huy chương vàng năm lần liên tiếp ở trò chơi Olympic khá ít ở khía cạnh tài năng thô mà ở sức mạnh về ý chí và sự kiến định để theo đuổi một mục tiêu trong một khoảng thời gian bền vững. Định lý toán thực sự sẽ yêu cầu thể lực tương tự khi bạn đo lường nỗ lực theo tháng hay theo năm [...]

Sự khác biệt cơ bản thứ hai là tính mới [...] Để tôi nhấn mạnh rằng tạo ra một thứ toán mới thì thực sự là một nghề nghiệp khác hẳn giải bài trong cuộc thi. Tại sao vậy? Bởi vì bạn không biết chắc chắn về cái bạn đang cố chứng minh hoặc thực sự chúng có đúng hay không.

Trong bài luận Giáo dục Toán học, Huy chương Field William Thurston nói

Liên quan đến việc nhận thức sớm là xu hướng phổ biến khi nghĩ về toán như thể một cuộc đua hoặc như một cuộc thi thể thao. Có nhiều giải đấu toán phổ biến ở mức trung học: các đội từ các trường trung học trong khu vực gặp nhau định kỳ và được đưa ra một số bài toán, với một giờ hoặc lâu hơn để giải quyết chúng.

Ngoài ra còn có các cuộc thi cấp độ bang, quốc gia và quốc tế. Những cuộc thi này vui, thú vị và có hiệu quả giáo dục cho những người thành công trong đó. Nhưng chúng cũng có một nhược điểm. Các cuộc thi củng cố quan niệm cho rằng bạn hoặc là có gen toán tốt, hoặc bạn không. Họ nhấn mạnh vào việc phải nhanh, đối nghịch với việc hiểu sâu và kĩ. Họ chú trọng đến các câu hỏi là những câu đố với một số mánh khóe ẩn giấu, thay vì những vấn đề thực tế hơn trong đó cách tiếp cận có hệ thống và bền bỉ là quan trọng. Điều này làm nản lòng nhiều người không nhanh hoặc ít thực hành, nhưng có thể giỏi xử lý các vấn đề khi họ có thời gian để suy nghĩ về chúng. Một số người có thành tích tốt nhất trong các cuộc thi đã trở thành những nhà toán học giỏi, nhưng cũng có nhiều nhà toán học hàng đầu không giỏi làm toán trong cuộc thi.

Nhanh là hữu ích trong toán học, nhưng nó chỉ là một trong những phẩm chất hữu ích. Đối với những người không trở thành nhà toán học, các kỹ năng làm toán trong cuộc thi có lẽ thậm chí còn ít liên quan hơn. Những cuộc thi này hơi giống như cuộc thi đánh vần. Có một số mối liên hệ giữa chính tả tốt và viết tốt, nhưng người chiến thắng cuộc thi đành vần bang không nhất thiết phải có tài năng để trở thành một nhà văn giỏi, và một số nhà văn giỏi không phải là người đánh vần giỏi. Nếu có một sự lẫn lộn phổ biến giữa chính tả giỏi và viết giỏi, nhiều nhà văn tiềm năng sẽ bị mất niềm tin một cách không cần thiết.

Trong cuốn sách Toán học: Một giới thiệu rất ngắn gọn, Huy chương Field Timothy Gowers viết:

Trong khi một hình ảnh tiêu cực về nhà toán học có thể gây hại, bằng cách gạt bỏ những người mà lẽ ra đã thích và giỏi toán, thì thiệt hại do từ thiên tài gây ra còn ngấm ngầm hơn và có thể còn lớn hơn. Đây là một định nghĩa sẵn có và thô về thiên tài: một người có thể dễ dàng làm, và ở độ tuổi trẻ, một điều mà hầu như không ai khác có thể làm trừ phi may ra sau nhiều năm luyện tập. Thành tựu của các thiên tài là do một số loại phẩm chất ma thuật của họ - như thể bộ não của họ hoạt động không chỉ hiệu quả hơn chúng ta, mà theo một cách hoàn toàn khác. Cứ một hoặc hai năm lại có sinh viên toán ở Cambridge thường xuyên giải quyết được trong một vài phút các vấn đề mà hầu hết mọi người, kể cả những người được cho là dạy họ, cần vài giờ hoặc hơn nữa. Khi đối mặt với một người như vậy, tất cả những gì có thể làm là lùi lại và ngưỡng mộ.

Tuy nhiên, những người phi thường này không phải lúc nào cũng là những nhà nghiên cứu toán học thành công nhất. Nếu bạn muốn giải quyết một vấn đề mà các nhà toán học chuyên nghiệp khác đã cố gắng và không giải quyết được trước bạn, thì, trong số nhiều phẩm chất bạn sẽ cần, thiên tài như tôi đã định nghĩa là không cần thiết cũng không đủ. Minh họa bằng một ví dụ cực đoan, Andrew Wiles, người (ở tuổi chỉ hơn bốn mươi) đã chứng minh Định lý cuối cùng của Fermat (nói rằng nếu x, y, z và n đều là các số nguyên dương và n lớn hơn 2, thì x^n + y^n không thể bằng z^n) và do đó đã giải quyết được vấn đề toán học chưa giải quyết được nổi tiếng nhất thế giới, chắc chắn là rất thông minh, nhưng với tôi thì ông không phải là thiên tài.

Làm thế nào, bạn có thể hỏi, ông ta có thể đạt được những gì ông ta đã làm mà không cần đến một năng lực não bộ bí ẩn khác thường? Câu trả lời là, mặc dù thành tích của ông ấy là cao siêu, việc giải thích là không cao siêu như thế. Tôi không biết chính xác điều gì đã cho phép ông ta thành công, nhưng ông ta cần sự can đảm, quyết tâm và kiên nhẫn rất lớn, một kiến ​​thức rộng về một số công trình rất khó mà những người khác đã thực hiện, may mắn được làm ở đúng lĩnh vực toán học ở đúng thời điểm và một khả năng xác định chiến lược phi thường.

Cuối cùng, phẩm chất cuối cùng này quan trọng hơn tốc độ suy nghĩ dị thường: những đóng góp sâu sắc nhất cho toán học thường được tạo ra bởi những con rùa hơn là những con thỏ rừng. Khi các nhà toán học phát triển, họ học được nhiều mánh khóe thủ đoạn khác nhau, một phần từ công việc của các nhà toán học khác và một phần là kết quả của nhiều giờ dành cho việc suy nghĩ về toán. Điều quyết định họ có thể sử dụng chuyên môn của mình để giải quyết các vấn đề khét tiếng hay không, là có kế hoạch cẩn thận: cố gắng giải quyết các vấn đề có khả năng mang lại kết quả, biết khi nào nên từ bỏ một dòng suy nghĩ (một đánh giá khó thực hiện), có thể phác họa các nét khung cảnh rộng về các suy luận trước đó, rất thỉnh thoảng, thu xếp điền vào các chi tiết. Điều này đòi hỏi một mức độ trưởng thành, không hề mâu thuẫn với thiên tài nhưng cũng không phải lúc nào cũng đi kèm với nó.

Trong có cần phải là thiên tài để làm toán? Terence Tao đồng tình với Gowers và giải thích về cùng một chủ đề.

Huy chương Field Alexander Grothendieck mô tả kinh nghiệm xác đáng của chính ông trong Thu hoạch và Hạt giống:

Kể từ đó, tôi đã có cơ hội ở trong thế giới toán nơi chào đón tôi, để gặp gỡ khá nhiều người, ở cùng cả những người tiền bối của tôi và ở cùng cả những người trẻ tầm tuổi tôi, những người tài giỏi hơn, thiên bẩm hơn tôi. Tôi ngưỡng mộ tiền đề mà họ có được, như thể đang chơi đùa, những ý tưởng mới, tung hứng chúng như thể quen thuộc với chúng từ trong nôi trong khi đối với bản thân tôi, tôi cảm thấy vụng về, thậm chí trì độn, lang thang đau đớn trên một con đường đầy gian nan, như một con bò câm phải đối mặt với một núi vô định hình những thứ tôi phải học (vì vậy tôi đảm bảo) những thứ tôi cảm thấy không có khả năng hiểu được cái bản chất hoặc đi theo cho đến cùng. Thật vậy, có rất ít thứ định hình tôi như là kiểu sinh viên sinh viên sáng láng chiến thắng tại các cuộc thi danh tiếng hoặc thấu hiểu như thể chỉ bằng sự khéo tay, những chủ đề cấm kị nhất.

Trên thực tế, hầu hết những đồng đội mà tôi đánh giá là xuất sắc hơn tôi đã trở thành những nhà toán học kiệt xuất. Nhưng đánh giá dài hơi, ba mươi hoặc ba mươi lăm năm, tôi có thể nói rằng dấu ấn của họ đối với toán học của thời đại chúng ta không được sâu sắc lắm. Họ đã làm tất cả mọi thứ, thường là những thứ đẹp đẽ trong bối cảnh đã được đặt ra trước mắt họ, mà họ không có khuynh hướng phá bỏ nó. Không nhận thức được điều đó, họ ở lại là tù nhân của những vòng tròn vô hình và chuyên chế đó, nơi bó hẹp một vũ trụ của một môi trường nhất định trong một thời đại nhất định. Để phá vỡ những giới hạn này họ sẽ phải khám phá lại trong họ thứ khả năng đã quyền của họ ngay khi trào đời, giống như của tôi: Năng lực cô độc.